Matematica nell’alveare

L’esperienza ci dimostra che quando un elemento bidimensionale appoggiato ad un estremo e caricato da una forza di compressione all’altro estremo oltre un determinato limite manifesta la tendenza a flettersi. Questo si verifica quando l’asse della sollecitazione non ha l’asse esattamente coincidente con l’asse baricentrico dell’elemento, ma si troverà ad una certa distanza da esso, creando così un momento flettente.
Il modello matematico impiegato per descrivere questo fenomeno utilizza l’eccentricità del carico assiale che introduce un momento flettente che non fa parte delle forze primarie che agiscono sull’elemento.
Si prenda per esempio una riga da disegno e la si tenga in verticale, appoggiata con una estremità su un tavolo (in modo tale che non scivoli) e sull’altra estremità s’imprime uno sforzo di compressione assiale.
La riga, soggetta a compressione lungo il suo asse, resiste fino a un certo carico, in gergo detto carico limite, oltre il quale inizia a incurvarsi lateralmente per instabilità laterale.
Se non si smette immediatamente di imprimere una forza verso il basso, la riga si romperà.
Se volete continuare perché non avete ancora esaurito la vostra pazienza, provate a farlo con righe di lunghezze diverse, e vedrete che più le righe sono lunghe e più sarà facile romperle.

Applichiamo il modello matematico ai favi dell’alveare.
La cera secreta dalle api ha caratteristiche meccaniche scadenti ma quando viene modellata per costruire il favo è in grado di resistere, grazie alla sua struttura alveolata e allo strato protettivo di propoli che avvolge le cellette, il peso delle provviste, della covata e delle azioni trasmesse dagli agenti esterni.
Per comprendere come la struttura alveolata del favo riesca a sopportare tutto il peso complessivo del favo, dobbiamo analizzare come questo si ripartisce sulle singole cellette (cfr. disegno).
Il peso complessivo del favo è l’insieme dei pesi di ogni singola celletta piena di miele, che si ricava moltiplicando il volume della celletta per il peso specifico del miele. Il peso di una celletta è applicato nel suo baricentro ed è diretto verso il basso, dove incontra un nodo in comune con tre pareti di due celle adiacenti. Il peso si scompone in due componenti, lungo le pareti della celletta, che essendo simmetriche sono uguali.
Le reazioni “r/2” che nascono nel nodo per l’equilibrio sono uguali e contrarie alle componenti del peso. Tali reazioni agendo lungo le pareti incontrano un altro nodo e vanno a sommarsi all’altra reazione che proviene dal nodo della cella vicina, le loro somme “R” sono dirette verso l’alto lungo le pareti verticali delle cellette. Esse sono uguali e contrarie alla semisomma del peso di due cellette di miele adiacenti. Più ci avviciniamo sul punto di attacco del portafavo e più aumenta la trazione nel favo e la sua resistenza è inversamente proporzionale alla sua lunghezza e ai vincoli all’estremità.
Facciamo un esempio: quando diciamo che il favo pesa 5 kg, stiamo solo dicendo che 5 kg è la somma di tutte queste forze.
Nel momento in cui le api non riescono a mantenere la temperatura interna del nido al disotto della temperatura di plasticità della cera, si verifica lo stiramento delle cellette nella parte superiore dei favi. Questo fenomeno è accentuato nei favi che sono stati rapidamente costruiti e riempiti di miele prima che questi siano usati per la covata.
I favi che hanno contenuto la covata si stirano di meno perché hanno le pareti rinforzate dai bozzoli della covata.
Se le api bloccassero il favo alle due estremità (sul longherone superiore e sulla traversa inferiore del telaino) durante lo stiramento delle cellette, il favo non potendo scorrere nel suo piano longitudinale, resiste fino a un determinato carico limite, successivamente la sua componente non assiale comincia impercettibilmente a piegarlo. La situazione diventa instabile e il favo si deforma, anche nel senso trasversale, formando delle protuberanze nella parte inferiore del favo, con rischio di uccidere le api o la regina durante l’estrazione dall’alveare. In altri termini, più il favo è lungo, tanto più piccolo sarà il carico necessario per deformarlo. Ecco perché questo fenomeno si verifica solo nel nido e non nel melario, anche se il favo è bloccato alle due estremità.
Se un’estremità del favo è libera, si verifica solo una deformazione nel senso longitudinale del favo (stiramento delle cellette) e non si genera quel momento flettente addizionale che farebbe deformare il favo in senso trasversale.
Le api comparse sulla terra 25 milioni di anni fa, e prima che l’homo sapiens studiasse questo fenomeno, erano già a conoscenza di questo fatto.
Ecco spiegato perché le api iniziano a costruire i favi partendo dall’alto, bloccandoli solo sotto la soffitta nei ricoveri naturali o sotto il longherone superiore dei telaini nelle arnie razionali. I favi che costruiscono le api non toccano mai il pavimento del ricovero naturale o le asticelle inferiore dei telaini nelle arnie razionali, anche quando si aumenta lo spazio tra l’asticella inferiore dei telaini e il fondo dell’alveare in modo tale da ottenere una migliore ventilazione.
In molte riunioni, ho sempre sconsigliato agli apicoltori di montare il foglio cereo appoggiato alla traversa inferiore del telaino per contrastare la varroa. Anche se nella parte bassa del favo, saranno costruite celle da fuchi, il danno che la varroa compie è nettamente inferiore al danno che noi provochiamo negli alveari, quando si favorisce la costruzione di favi deformati.

Di Pasquale Angrisani. Fonte: Apitalia 11/2018
Aggiornato al 20/06/2021